Нелинейные дифференциальные уравнения в математической физике: симметрийный подход

Многие реальные процессы и явления моделируются в виде нелинейных дифференциальных уравнений и их дискретных аналогов. Поэтому разработка эффективных методов построения решений таких уравнений является актуальной научной проблемой. Замечательным достижением математической физики последних десятилетий является открытие класса интегрируемых систем, которые до некоторой степени могут быть решены явно. Эта точная разрешимость обычно обусловлена некоторой ”внутренней симметрией”, которая делает интегрируемые системы математически богатыми и интересными объектами, имеющими глубокие связи с различными областями математики, такими, как алгебра, анализ и геометрия. Следует отметить, что интегрируемые системы появляются как первое приближение при изучении сложных систем физического происхождения, что позволяет рассматривать интегрируемые системы как новые нелинейные специальные функции математической физики. Поэтому задача классификации интегрируемых систем является одной из важнейших проблем естествознания, оказывающая решающее влияние, как на чистую, так и на прикладную математику. Проблема классификации многомерных интегрируемых систем остается мало изученной, но весьма актуальной проблемой. Это в первую очередь связано с нелокальностью высших симметрий многомерных уравнений, что затрудняет их вычисление.